খ্রিষ্টপূর্ব ৫৮০ সালের কাছাকাছি গ্রিসের মিলেটাস থেকে কয়েক মাইল দূরে সাময় নামক একটি ক্ষুদ্র দ্বীপে পিথাগোরাসের জন্ম । এই দ্বীপের তৎকালীন বসিন্দাদের পূর্বপুরুষগণ আনুমানিক খ্রিষ্টপূর্ব ১০০০ সালের দিকে সেখানে প্রথম বসতি স্থাপন করেন ।
বর্তমানে যে কোন গণিতের বইয়ে পিথাগোরাসের নাম দেখতে পাওয়া যায় । তাঁর শৈশব ও যৌবন সম্পর্কে তেমন কোনো তথ্য পাওয়া যায না । শুধু এইটুকু জানা যায় যে তিনি বিখ্যাত গণিতজ্ঞ থেলাসের কাছে অধ্যায়ন করেছিলেন । প্রায় পঞ্চাশ বছর বয়সে তিনি সাময় ত্যাগ করে ইটালির ক্রোটন শহরে গিয়ে বসবাস করা শুরু করেন ।
পিথাগোরাসের বড় বড় গবেষণার মধ্যে কয়েকটি উল্লেখযোগ্য হলো ১. সংখ্যার তত্ত্ব ও প্রকৃতি নির্ণয় । ২. যে কোনো দুটি দৈর্ঘ্যের একটি সুনির্দিষ্ট বিভাজক আছে কি না ? ৩. যে কোনো সমতলের উপর কোনো নির্দিষ্ট আকৃতির ক্ষেত্রে বারংবার স্থাপন করে ঐ তলটি একদম ভরে ফেলা যায় কি না ? ইত্যাদি ।
তবে সারা পৃথিবীর সকল শিক্ষার্থীদের নিকট পিথাগোরাস পরিচিত তার বিখ্যাত সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কি পিথাগোরাসের উপপাদ্য - টির জন্য ।
 |
| পিথাগোরাসের উপপাদ্য |
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
পিথাগোরাসের বিখ্যাত উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান ।
আমাদের দেশের অষ্টম শ্রেনির গণিতের একটি অধ্যায় ( নবম অধ্যায় ) পিথাগোরাসের উপপাদ্য সংশ্লিষ্ট । শুধু তাই নয় এস এস সি শিক্ষার্থীদের জন্য ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য যথেষ্ঠ গুরুত্বপূর্ণ ।
শুধু জ্যামিতি নয় বিজ্ঞানের অন্যান্য শাখায় ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য - এর ব্যবহার লক্ষ্য করা যায় । বিভিন্ন ভাবে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করা যায় । তবে আমরা শিক্ষার্থীদের কথা বিবেচনা করে এখানে কয়েকটি সহজ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করে দেখাবো ।
আরো পড়তে পারেন
পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ - দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে
এ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে
১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমান করে একই সাথে আরেকটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হবে ।
২. ত্রিভুজ দুটিকে সর্বসম প্রমাণ করতে হবে । যার মাধ্যমে একটি অনুসিদ্ধান্তে পৌঁছানো সম্ভব হবে ।
৩. অঙ্কিত দুটি ত্রিভুজের সমষ্টিকে একটি ট্রাপিজিয়াম প্রমাণ করতে হবে ।
৩.অতপর ট্রাপিজিয়ামটি হতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে হবে ।
বিশেষ নির্বচন :
মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণ = 90° অতিভুজ AC = c , অপর দুই বাহু AB = a, এবং BC = b প্রমাণ করতে হবে যে, `AC^2=AB^2+BC^2` বা `c^2=a^2+b^2`
অঙ্কন :
BC কে CD পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন CD=AB=a হয় । D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব আঁকি । যেন, DE=BC=b হয়। C,E ও A,E যোগ করি।
প্রমাণ :
(১) △ABC ও △CDE এ AB=CD=a, BC=DE=b এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE
সুতরাং △ABC ≅ △CDE
∴ AC=CE=c ∠BAC=∠ECD
(২) আবার AB⊥BD এবং ED⊥BD হওয়ায় AB।।ED
সুতরাং ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম
(৩) যেহেতু ∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠CED = এক সমকোণ
∴ ∠ACE = এক সমকোণ । ∴ △ACE সমকোণী ত্রিভুজ
৪. আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = `\frac1{2}` সমান্তরাল দুই বাহুর যোগফল×সমান্তরাল বাহু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব।
আবার যেহেতু ABDE ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ( △ABC + △CDE + △ACE ) এর ক্ষেত্রফল
∴ `\frac1{2}` BD(AB+DE) = `\frac1{2}`AB×BC + `\frac1{2}` DE ×DC + `\frac1{2}` AC×CE
or, `\frac1{2}` (BC+CD)(AB+DE) = `\frac1{2}`AB×BC + `\frac1{2}` DE ×DC + `\frac1{2}` AC×CE
or, `\frac1{2}` (b+a)(a+b) = `\frac1{2}` ab+ `\frac1{2}` ab + `\frac1{2}` `c^2`
or, `\frac1{2}` `(a+b)^2` = `\frac1{2}` ( ab+ab+ `c^2` )
or, `(a+b)^2` = 2ab+ `c^2`
or, `a^2+2ab+b^2` = 2ab+ `c^2`
or, `a^2+b^2` = `c^2`
or, `AC^2=AB^2+BC^2` ( প্রমাণিত )
আরো পড়তে পারেন
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ - সাদৃশ্যকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে
এ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে
১. অঙ্কনের বিবরন ভালো করে বুঝে নিবে
২. ত্রিভুজের সদৃশ প্রমাণ করতে হবে ।
৩. ত্রিভুজ সদৃশ প্রমাণ করার ফলে যে অনুপাত তৈরি হবে সেগুলো যোগ করে নিতে হবে ।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি , ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠C = 90° এবং AB=c , BC=a , AC=b প্রমাণ করতে হবে যে, `AB^2=AC^2+BC^2` বা `c^2=a^2+b^2`
অঙ্কন : C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর লম্ব CH আঙ্কন করি । AB অতিভুজ H বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত করি ।
প্রমাণ : (১) আমার জানি প্রত্যেক সমকোণ পরস্পর সমান
সুতরাং △BCH ও △ABC এ
∠BHC = ∠ACB
∠CBH = ∠ABC
∴ △CBH ও △ABC সদৃশ
∴ `\frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC}`
বা, `\frac{a}{c}=\frac{e}{a}`
বা, `a^2=ce` .................... (i)
(২) অনুরূপ ভাবে △ACH ও △ABC সদৃশ
∴ `\frac{b}{c}=\frac{d}{b}`
বা, `b^2=cd` .................... (ii)
(৩) (i) + (ii)
`a^2+b^2=ce+cd`
বা, `a^2+b^2=c(e+d)`
যেহেতু , e+d =c
∴ `a^2+b^2=c.c`
বা , `a^2+b^2=c^2`
বা, `AB^2=AC^2+BC^2` ( প্রমাণিত )
আরো পড়তে পারেন
পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ - সামান্তরিকের সাহায্যে
এ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে
১. অঙ্কনের পদ্ধতিটি ভালোভাবে শিখে নিতে হবে ।
২. দুটি ত্রিভুজকে সর্বসম প্রমাণ করতে হবে । যার মাধ্যমে একটি অনুসিদ্ধান্তে পৌঁছানো সম্ভব হবে ।
৩. কোনো ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক । এ উপপাদ্যটি মুখস্ত রাখতে হবে ।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি , ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠A = 90° এবং BC অতিভুজ প্রমাণ করতে হবে যে, `BC^2=AC^2+AB^2`
অঙ্কনের বিবরণ : AB , BC এবং AC এর উপর যথাক্রমে ABFG, BCED এবং ACIH বর্গ আঁকি । A বিন্দু দিয়ে BD বা CE রেখার সমান্তরাল AL রেখা আঁকি । মনে করি AL রেখা BC কে K এবং DE কে L বিন্দুতে ছেদ করে । C ও Fএবং A, D যোগ করি ।
প্রমাণ : (১) △BCF এবং △ABD এ যেহেতু একই বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু
∴ AB=BF এবং BC=BD
∠ABD = ∠ABC+∠DBC এবং ∠CBF = ∠CBA+∠FBA
∠DBC = ∠FBA = এক সমকোণ আবার যেহেতু ∠ABC = ∠CBA একই কোণ
∴ ∠ABD = ∠CBF
∴ △BCF ≅ △ABD
(২) আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ।
যেহেতু , △BCF ত্রিভুজ এবং ABFG বর্গক্ষেত্র একই ভূমি BF এর উপর অবস্থিত এবং BF ও CG সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত
সুতরাং ABFG বর্গক্ষেত্র = 2△BCF
(৩) একই ভাবে, △ABD ত্রিভুজ এবং BDLK বর্গক্ষেত্র একই ভূমি BD এর উপর অবস্থিত এবং
BD ও CL সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত হওয়ায়, BDLK বর্গক্ষেত্র = 2△ABD
(৪) যেহেতু △BCF ≅ △ABD
∴ 2△BCF = 2△ABD
বা, ABFG বর্গক্ষেত্র = BDLK আয়তক্ষেত্র ............. (i)
(৫) অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় ACIH বর্গক্ষেত্র = KLEC আয়তক্ষেত্র ............ (ii)
(৬) (i) + (ii)
ABFG বর্গক্ষেত্র + ACIH বর্গক্ষেত্র = BDLK আয়তক্ষেত্র + KLEC আয়তক্ষেত্র
বা, ABFG বর্গক্ষেত্র + ACIH বর্গক্ষেত্র = BDEC বর্গক্ষেত্র [ ∵ BDLK আয়তক্ষেত্র + KLEC আয়তক্ষেত্র = BDEC বর্গক্ষেত্র ]
বা, `AB^2+AC^2=BC^2`
∴ `BC^2=AC^2+AB^2` ( প্রমাণিত )
মানুষ ভুলের উর্ধ্বে নয় । ভুল হলে কমেন্টের মাধ্যমে জানানোর অনুরোধ রইল । ভালো লাগলে অন্যদের সাথে শেয়ার করে তাদেকেও পিথাগোরাসের উপপাদ্য জানার সুযোগ করে দিন । এ ধরনের শিক্ষা বিষয়ক আর্টিকেল পেতে অন্বেষা,নেট এর সাথে থাকুন । আর কোনো বিষয়ে জানার আগ্রহ থাকলে কমেন্টের মাধ্যমে জানালে আমরা সে সম্পর্কে তোমাদের জানানোর চেষ্টা করবো ।
আরো পড়তে পারেন
pdf koi
উত্তরমুছুন