সহজ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ pdf

খ্রিষ্টপূর্ব ৫৮০ সালের কাছাকাছি গ্রিসের মিলেটাস থেকে কয়েক মাইল দূরে সাময় নামক একটি ক্ষুদ্র দ্বীপে পিথাগোরাসের জন্ম । এই দ্বীপের তৎকালীন বসিন্দাদের পূর্বপুরুষগণ আনুমানিক খ্রিষ্টপূর্ব ১০০০ সালের দিকে সেখানে প্রথম বসতি স্থাপন করেন । 

বর্তমানে যে কোন গণিতের বইয়ে পিথাগোরাসের নাম দেখতে পাওয়া যায় । তাঁর শৈশব ও যৌবন সম্পর্কে তেমন কোনো তথ্য পাওয়া যায না । শুধু এইটুকু জানা যায় যে তিনি বিখ্যাত গণিতজ্ঞ থেলাসের কাছে অধ্যায়ন করেছিলেন । প্রায় পঞ্চাশ বছর বয়সে তিনি সাময় ত্যাগ করে ইটালির ক্রোটন শহরে গিয়ে বসবাস করা শুরু করেন । 

পিথাগোরাসের বড় বড় গবেষণার মধ্যে কয়েকটি উল্লেখযোগ্য হলো ১. সংখ্যার তত্ত্ব ও প্রকৃতি নির্ণয় । ২. যে কোনো দুটি দৈর্ঘ্যের একটি সুনির্দিষ্ট বিভাজক আছে কি না ? ৩. যে কোনো সমতলের উপর কোনো নির্দিষ্ট আকৃতির ক্ষেত্রে বারংবার স্থাপন করে ঐ তলটি একদম ভরে ফেলা যায় কি না ? ইত্যাদি । 

তবে সারা পৃথিবীর সকল শিক্ষার্থীদের নিকট পিথাগোরাস পরিচিত তার বিখ্যাত সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কি পিথাগোরাসের উপপাদ্য - টির জন্য । 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের বিখ্যাত উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান । 

আমাদের দেশের অষ্টম শ্রেনির গণিতের একটি অধ্যায় ( নবম অধ্যায় ) পিথাগোরাসের উপপাদ্য সংশ্লিষ্ট । শুধু তাই নয় এস এস সি শিক্ষার্থীদের জন্য ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য যথেষ্ঠ গুরুত্বপূর্ণ । 

শুধু জ্যামিতি নয় বিজ্ঞানের অন্যান্য শাখায় ও পিথাগোরাসের উপপাদ্য - এর ব্যবহার লক্ষ্য করা যায় । বিভিন্ন ভাবে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করা যায় । তবে আমরা শিক্ষার্থীদের কথা বিবেচনা করে এখানে কয়েকটি সহজ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করে দেখাবো । 

আরো পড়তে পারেন

• নবম - দশম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন

• উপপাদ্য সৃজনশীল : ব্যবহারিক জ্যামিতি ( এস এস সি পরীক্ষায় ১০০ % কমনের নিশ্চয়তা )

• ১০০% কমন ৮ম শ্রেণির গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ - দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে

এ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে 

১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমান করে একই সাথে আরেকটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হবে ।

২. ত্রিভুজ দুটিকে সর্বসম প্রমাণ করতে হবে । যার মাধ্যমে একটি অনুসিদ্ধান্তে পৌঁছানো সম্ভব হবে ।

৩. অঙ্কিত দুটি ত্রিভুজের সমষ্টিকে একটি ট্রাপিজিয়াম প্রমাণ করতে হবে ।

৩.অতপর ট্রাপিজিয়ামটি হতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে হবে ।

বিশেষ নির্বচন : 

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণ = 90° অতিভুজ AC = c , অপর দুই বাহু AB = a, এবং BC = b প্রমাণ করতে হবে যে, `AC^2=AB^2+BC^2` বা `c^2=a^2+b^2`

অঙ্কন : 

BC কে CD পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন CD=AB=a হয় । D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব আঁকি । যেন, DE=BC=b হয়।  C,E ও A,E যোগ করি।

প্রমাণ :

(১) △ABC ও △CDE এ AB=CD=a, BC=DE=b এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC = অন্তর্ভুক্ত ∠CDE 

সুতরাং △ABC ≅ △CDE

∴ AC=CE=c ∠BAC=∠ECD

(২) আবার AB⊥BD এবং ED⊥BD হওয়ায় AB।।ED

সুতরাং ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম

(৩) যেহেতু ∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠CED = এক সমকোণ

∴  ∠ACE = এক সমকোণ । ∴ △ACE সমকোণী ত্রিভুজ

৪. আমরা জানি,

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = `\frac1{2}` সমান্তরাল দুই বাহুর যোগফল×সমান্তরাল বাহু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব।

আবার যেহেতু  ABDE ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ( △ABC + △CDE + △ACE ) এর ক্ষেত্রফল

∴ `\frac1{2}` BD(AB+DE) = `\frac1{2}`AB×BC + `\frac1{2}` DE ×DC + `\frac1{2}` AC×CE

or,  `\frac1{2}` (BC+CD)(AB+DE) = `\frac1{2}`AB×BC + `\frac1{2}` DE ×DC + `\frac1{2}` AC×CE

or, `\frac1{2}` (b+a)(a+b) =  `\frac1{2}` ab+  `\frac1{2}` ab +  `\frac1{2}` `c^2`

or,  `\frac1{2}` `(a+b)^2` =  `\frac1{2}` ( ab+ab+ `c^2` )

or, `(a+b)^2` = 2ab+ `c^2` 

or, `a^2+2ab+b^2` = 2ab+ `c^2` 

or, `a^2+b^2` = `c^2` 

or, `AC^2=AB^2+BC^2`       ( প্রমাণিত )

আরো পড়তে পারেন

• সম্পাদ্য কাকে বলে : দশম শ্রেণীর সম্পাদ্য সৃজনশীল প্রশ্ন

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ - সাদৃশ্যকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে 

এ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে 

১. অঙ্কনের বিবরন ভালো করে বুঝে নিবে

২. ত্রিভুজের সদৃশ প্রমাণ করতে হবে ।

৩. ত্রিভুজ সদৃশ প্রমাণ করার ফলে যে অনুপাত তৈরি হবে সেগুলো যোগ করে নিতে হবে ।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি , ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠C = 90° এবং AB=c , BC=a , AC=b প্রমাণ করতে হবে যে, `AB^2=AC^2+BC^2` বা `c^2=a^2+b^2`

অঙ্কন : C বিন্দু থেকে অতিভুজ AB এর উপর লম্ব CH আঙ্কন করি । AB অতিভুজ H বিন্দুতে d ও e অংশে বিভক্ত করি ।

প্রমাণ : (১) আমার জানি প্রত্যেক সমকোণ পরস্পর সমান

সুতরাং  △BCH ও △ABC এ

 ∠BHC = ∠ACB 

 ∠CBH = ∠ABC

∴ △CBH ও △ABC সদৃশ

∴ `\frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC}`

বা, `\frac{a}{c}=\frac{e}{a}`   

বা, `a^2=ce` .................... (i)

(২) অনুরূপ ভাবে △ACH ও △ABC সদৃশ

∴  `\frac{b}{c}=\frac{d}{b}` 

বা, `b^2=cd`   .................... (ii)

(৩) (i) + (ii)

`a^2+b^2=ce+cd‌‌‌`

বা, `a^2+b^2=c(e+d)`

যেহেতু , e+d =c

∴  `a^2+b^2=c.c`

বা , `a^2+b^2=c^2`

বা, `AB^2=AC^2+BC^2`         ( প্রমাণিত )

আরো পড়তে পারেন

• সত্যি কি আমেরিকা এলিয়েনের সাথে চুক্তিবদ্ধ !

পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ - সামান্তরিকের সাহায্যে

এ পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে হবে 

১. অঙ্কনের পদ্ধতিটি ভালোভাবে শিখে নিতে হবে ।

২. দুটি ত্রিভুজকে সর্বসম প্রমাণ করতে হবে । যার মাধ্যমে একটি অনুসিদ্ধান্তে পৌঁছানো সম্ভব হবে ।

৩. কোনো ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক । এ উপপাদ্যটি মুখস্ত রাখতে হবে ।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি , ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠A = 90° এবং BC অতিভুজ প্রমাণ করতে হবে যে, `BC^2=AC^2+AB^2`

অঙ্কনের বিবরণ : AB , BC এবং AC এর উপর যথাক্রমে ABFG, BCED এবং ACIH বর্গ আঁকি । A বিন্দু দিয়ে BD বা CE রেখার সমান্তরাল AL রেখা আঁকি । মনে করি AL রেখা BC কে K এবং DE কে L বিন্দুতে ছেদ করে । C ও Fএবং A, D যোগ করি ।

প্রমাণ : (১) △BCF এবং △ABD এ যেহেতু একই বর্গক্ষেত্রের দুই বাহু

∴ AB=BF এবং BC=BD

∠ABD = ∠ABC+∠DBC এবং ∠CBF = ∠CBA+∠FBA

∠DBC = ∠FBA = এক সমকোণ আবার যেহেতু ∠ABC = ∠CBA একই কোণ

∴ ∠ABD =  ∠CBF

∴ △BCF ≅ △ABD

(২) আমরা জানি,

কোনো ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে , ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ।

যেহেতু , △BCF ত্রিভুজ এবং ABFG বর্গক্ষেত্র একই ভূমি BF এর উপর অবস্থিত এবং BF ও CG সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত

সুতরাং ABFG বর্গক্ষেত্র = 2△BCF

(৩) একই ভাবে, △ABD ত্রিভুজ এবং BDLK বর্গক্ষেত্র একই ভূমি BD এর উপর অবস্থিত এবং 

BD ও CL সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যে অবস্থিত হওয়ায়, BDLK বর্গক্ষেত্র = 2△ABD

(৪) যেহেতু △BCF ≅ △ABD

∴ 2△BCF = 2△ABD

বা, ABFG বর্গক্ষেত্র = BDLK আয়তক্ষেত্র ............. (i)

(৫) অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় ACIH বর্গক্ষেত্র = KLEC আয়তক্ষেত্র  ............ (ii)

(৬) (i) + (ii)

ABFG বর্গক্ষেত্র + ACIH বর্গক্ষেত্র  = BDLK আয়তক্ষেত্র + KLEC আয়তক্ষেত্র

বা, ABFG বর্গক্ষেত্র + ACIH বর্গক্ষেত্র = BDEC বর্গক্ষেত্র [ ∵ BDLK আয়তক্ষেত্র + KLEC আয়তক্ষেত্র = BDEC বর্গক্ষেত্র ]

বা, `AB^2+AC^2=BC^2`

∴  `BC^2=AC^2+AB^2`           ( প্রমাণিত )

মানুষ ভুলের উর্ধ্বে নয় । ভুল হলে কমেন্টের মাধ্যমে জানানোর অনুরোধ রইল । ভালো লাগলে অন্যদের সাথে শেয়ার করে তাদেকেও পিথাগোরাসের উপপাদ্য জানার সুযোগ করে দিন । এ ধরনের শিক্ষা বিষয়ক আর্টিকেল পেতে অন্বেষা,নেট এর সাথে থাকুন । আর কোনো বিষয়ে জানার আগ্রহ থাকলে কমেন্টের মাধ্যমে জানালে আমরা সে সম্পর্কে তোমাদের জানানোর চেষ্টা করবো ।

 

আরো পড়তে পারেন

• তাহলে কি আমাদের ঘুমের কোন প্রয়োজন নেই ! 

• ঘরোয়া রূপচর্চা বিষয়ক টিপস : রূপচর্চা করুণ ১০০% কার্যকর উপায়ে

• যে ৫ টি অ্যান্ড্রয়েড অ্যাপ আপনার প্রয়োজন